Deliteľnosť, prvočísla a zložené čísla
Kritériá deliteľnosti
Prirodzené čísla sú deliteľné bezo zvyšku:
jednotoku sú deliteľné VŽDY
dvojkou ak sú párne (končia sa na 0,2,4,6,8)
trojkou ak ich ciferný súčet* je deliteľný trojkou
štvorkou ak ich posledné dve číslice** sú deliteľné štvorkou
päťkou ak sa končia na 0 alebo 5
šestkou ak sú deliteľné dvojkou a trojkou
Pre sedmičku neexistuje kritérium deliteľnosti.
osmičkou ak jeho posledné tri číslice sú deliteľné osmičkou
deviatkou ak jeho ciferný súčet je deliteľný deviatkou
desiatkou ak sa končí na 0
*ciferný súčet je súčet všetkých číslic (cifier) v čísle
**číslo na konci čísla, nie obe číslice zvlášť
Poznámky: Ak hovorím delení a deliteľoch vždy tým myslí bezo zvyšku. Nulou sa deliť nedá.
Triedenie čísel podľa ich deliteľnosti
Prirodzené čísla delíme podľa ich deliteľnosti na prvočísla a zložené čísla.
Prvočísla sú také prirodzené čísla, ktoré majú práve dvoch deliteľov: jednotku a samého seba.
Zložené čísla sú také prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dvoch deliteľov. Sú násobkami prvočísel.
0 a 1: špeciálna skupina, ktorá má menej ako dvoch deliteľov.
Eratonsthenovo sito
Je to metóda hľadania prvočísel. Jej princípom filtrovanie neprvočísel od dva až po ľubovoľnú hornú hranicu. Napríklad ak chceme nájsť všetky prvočísla do 50:
1.Vypíšeme si všetky čísla od 2 do 50.
2. Zakrúžkujeme 2 a vyčiarkneme všetky jeho násobky (4, 6, 8 atď.)
3. Zakrúžkujeme ďalšie číslo, ktoré nie je prečiarknuté a vyčiarkneme jeho násobky.
4. Opakujeme krok 3 až kým nedosiahneme koniec zoznamu.
Rozklad zložených čísel na súčin prvočísel
Keďže zložené čísla sú násobkami prvočísel, možno ich rozložiť na súčin prvočísel.
Postup:
- Urobíme si dva stĺpce. Do ľavého napíšeme zložené
číslo, ktoré chceme rozložiť. Ako príklad vám dám číslo 180.180
90
45
15
5
12 2 3 3 5 - Do pravého stĺpca napíšme najmenšie možné prvočíslo, ktorým je číslo v ľavom stĺpci deliteľné. Je 180 deliteľné dvojkou? Áno. Do pravého stĺpca napíšeme 2.
- Výsledok delenia zapíšeme do ľavého stĺpca. 180:2=90. 90 zapíšeme pod 180.
- Opakujeme kroky 2 a 3 až pokiaľ číslo v ľavom stĺpci nebude 1. 90:2=45 45:3=15 15:3=5 5:5=1.
- A číslo je rozložené! 180=2•2•3•3•5 (všetky čísla v pravom stĺpci).
Násobky a delitele
Najväčší spoločný deliteľ
Najväčšieho spoločného deliteľa dvoch akýchkoľvek čísel nájdeme takto:
1.Urobíme si rozklad oboch čísel na súčin prvočísel.
2.Čísla v súčine ktoré majú obe rozložené čísla rovnaké navzájom vynásobíme
3.Tak dostaneme najväčšieho spoločného deliteľa
Príklad: 42=2x3x7 63=3x3x7 3x7=21 Najväčší spoločný deliteľ: 21
Možno to zapísať aj takto: D(42, 63)=21
Poznámky: D musí byť veľké, lebo ide o najväčšieho spoločného deliteľa. Najmenší spoločný deliteľ akýchkoľvek dvoch čísel je 1. Týmto postupom možno hľadať najväčší spoločný deliteľ aj viacerých čísel ako dvoch. Ak v rozklade na súčin prvočísel sú menej ako dve spoločné čísla s druhým číslom, ich najväčší spoločný deliteľ je 1.
Čísla sú navzájom súdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ je väčší ako 1.
Čísla sú navzájom nesúdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ je 1.
Najmenší spoločný násobok
Keďže násobkov je nekonečne veľa, budeme hľadať najmenší spoločný násobok dvoch, alebo viacerých čísel. Tento násobok VŽDY musí existovať. Postup:
1.Urobíme si rozklad oboch čísel na súčin prvočísel.
2.Všetky čísla navzájom vynásobíme, ale číslami, ktoré majú obe rozložené čísla spoločné, násobíme iba raz.
3.Takto nájdeme najmenší spoločný násobok.
Príklad: 42=2x3x7 63=3x3x7 2x3x3x7=126 Najmenší spoločný násobok: 126
Možno to zapísať aj takto: n(42, 63)=126
Poznámky: n musí byť malé, lebo ide o najmenší spoločný násobok. Týmto postupom možno hľadať aj najmenší spoločný násobok viacerých čísel ako dvoch.